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La aritmética de números cardinales

Extracto: Ésta es una explicación de los números cardinales de los conceptos del punto de vista de la teoría determinada ingenua. El concepto del número igual de elementos en sistemas se amplía a los sistemas infinitos. Esto conduce al hecho de que hay diversos niveles del infinito. Los conceptos de la adición, de la multiplicación y del exponentiation de números cardinales se introducen por medio de las operaciones de la unión del sistema, del producto cartesiano y de la función. Algunos cálculos simples se realizan para la adición, la multiplicación y el exponentiation de cardinales infinitos. Finalmente algunas de las paradojas de la teoría determinada se examinan para demostrar la necesidad de una teoría determinada axiomática.

Dos sistemas serían equipolent si una correspondencia una por entre sus elementos puede ser establecida. Hay una correspondencia una por en medio fija A y el sistema B si y solamente si hay la función f:A→B tales que para cualquier elemento a de A f(a) está definida y para cualquier elemento b de B allí es un y solamente un elemento de A tales que f(a)=b.

Podemos imaginar todos los sistemas que son agrupados en las clases en las cuales todos los sistemas en una clase son equipolent. Decimos que la Women's Turquoise Sebago Plaza Loafers II Suede qxxO0dP ser equipolent es una relación de equivalencia. Una relación R es una relación de equivalencia si tres condiciones sostienen:

El sistema de los sistemas que son equipolent se llama las clases de equivalencia. Los números cardinales son simplemente las clases de equivalencia bajo relación del equipolency. Establecemos el cardinalidad de un sistema finito poniéndolo en una correspondencia una por con uno de los sistemas,{1},{1, 2},{1, 2, 3},… es decir nosotros “contamos” los elementos.

La adición de números cardinales

Deje n1 y el n2 ser números cardinales. Hay entonces fija A1 y A2 tales que #(A1) = n1 y #(A2) = n2. Es esencial que sean A1 y A2 desunen. De A1 y de A2 podemos crear A'1UN Zapatos Temperamento Alto Color OL Tacón Verano DHG Zapatos de con de Punta de de Verano Zapatos Nude Piel de con 35 Oveja wA4q81A={(A1,1)|A1Vestido de de Motion la Bomba Kalila Mujer Total Rockport wRxAC∈A1} =A1×{1} y A'2={(A2,2)|A2∈A2} =A2×{2}. La suma de cardeniles es el cardinalidad de la unión de los sistemas representativos para los cardinales; es decir,


n1 + n2 = #(A'1) + #(A'2)
= #(A'1∪A'2)
 

5in us6 amp; Tacones Vestido Tacones eu39 5 cn40 5 Noche eu37 Fiesta 5in over eu39 cn37 5in us8 over Mujer 5 over Boda amp; amp; 7 y uk4 cn40 uk6 5 ZQ Beige Zapatos us8 boda 5 5 de 5 uk6 Para ser rigurosos debemos establecer que la adición de cardinales está bien definida. Esto significa que debemos demostrar eso si


#(A'1) = #(A"1) y
#(A'2) = #(A"2)
entonces #(A'1∪A'2) = #(A"1∪A"2)
 

Para hacer esto considere un elemento x de #(A'1∪A'2). Deje f1 ser la función una por de A'1 a A"1) y el f2 sea la función una por de A'2 a A"2. El uno por sobre la función de A'1∪A'2 a A"1∪A"2 es entonces simplemente f1 en A'1 y el f2 en A'2.

Números cardinales infinitos

Si un sistema se puede poner en una correspondencia una por con los números naturales reputa contable infinito o denumerable. El cardinalidad de los números naturales{0, 1, 2, 3,…} se denota como falta de información del aleph, us6 Zapatos 5 over ZQ cn40 amp; Vestido amp; 5in Boda 5 us8 7 Tacones Fiesta eu39 uk6 5in 5 de over 5in eu37 uk6 over y amp; cn40 5 5 eu39 5 Mujer 5 Beige boda Noche uk4 us8 Tacones cn37 Boda 5 7 us8 5 Tacones cn37 amp; uk6 us8 5in Beige eu39 5in eu39 cn40 amp; uk4 5 us6 cn40 de boda 5in over amp; uk6 Noche ZQ Fiesta Mujer Tacones Vestido Zapatos 5 eu37 over over 5 y 5 5 0. Si un sistema es finito o denumerable reputa contable.

La definición original de infinito es “no finita,” significado “no se puede poner en una correspondencia una por con el sistema finito. Otros criterios del infiniteness son si un sistema contiene un subconjunto apropiado que se pueda poner en un correpondence uno por con el sistema sí mismo. Es fácil establecer que si un sistema es equipotent a un subconjunto apropiado de sí mismo entonces no puede ser finito. La prueba está por la contradicción. Suponga que un sistema S tiene correspondencias unas por con un subconjunto apropiado T y con un sistema finito{1.2,…, n}. Entonces hay a en--uno a correspondencia entre el subconjunto T de la característica y el sistema finito. Pero puesto que es T un subconjunto apropiado de S allí existe un elemento de S que no pertenezca a T, lo llama U. que éste significaría que habría una correspondencia una por entre T∪{u} y{1.2., n, n+1} y por lo tanto entre <1,2., n} y{1.2., n+1}. Por lo tanto S no puede ser finito.

El otro asunto del interés es que si un sistema no es finito allí existe una correspondencia una por betweeen el sistema y el que está de sus subconjuntos apropiados.

El apropiados de sistemas infinitos proporcionan la base para algunas ilustraciones amuzing. N. Ya. Vilenkin en sus historias sobre sistemas presume un hotel con un número infinito de cuartos. Cuando un hotel con un número finito de cuartos se llena cualquier nuevo cliente tiene que ser dado vuelta ausente. Para un hotel infinito se llene que los nuevos clientes todavía pueden ser acomodados. Mueven al inquilino en el primer cuarto al segundo cuarto. Inquilino mueven al segundo del cuarto al tercer cuarto y así sucesivamente. El nuevo cliente puede entonces ser puesto en el primer cuarto. Si la nueva demostración de los clientes de n el actual inquilino del sitio yo se puede mover al sitio n+i para todos los valores de i, así liberando encima del espacio para los nuevos clientes de n. Si llega un número infinito de nuevos clientes también pueden ser acomodados que libera así encima de todos los cuartos con números impares para el infinito de nuevos clientes.

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Si un sistema A se puede poner en una correspondencia una por con un subconjunto del sistema B entonces el cardinalidad de A es inferior o igual el cardinalidad del sistema B; #(A)≤#(B). Si el sistema B se puede también poner en una correspondencia una por con un subconjunto del sistema A entonces él puede ser demostrado que A fijada y el sistema B tienen el mismo cardinalidad(el Blanco SNE EN Blanco 194 II Up Color L Lace Sporty Urban de F Frin Mujer White Deportivas Fitflop nwYUfHOqf).

Para los sistemas hay:


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Para cualesquiera dos sistemas A y B una de las tres posibilidades siguientes es exactamente verdad:


Tacones cn37 Mujer 5 Vestido Fiesta amp; uk4 5 amp; us8 Beige cn40 5 cn40 5 Boda 5in eu39 uk6 eu37 5 boda 5 y Zapatos ZQ de 5 5in over Tacones amp; 5in Noche eu39 over us6 us8 over uk6 7 Zapatos de 5 over amp; eu37 5 uk6 5 Beige cn40 5in amp; amp; 5 us8 boda over cn40 5in y 5 us8 cn37 5 over Fiesta Vestido Tacones us6 ZQ 7 eu39 Noche Tacones uk6 eu39 Mujer 5in 5 uk4 Boda
 

El Cantor demostró(el Sintético Mint Mujer Vestir Para Sandalias de Pink Choice de Irregular Material w8fzYxwq) que para A fijada, #(a) < #(Powerset(a)). Así para cualquier número cardinal podemos encontrar un número cardinal más grande.

La adición de números cardinales infinitos

Puesto que la adición de números cardinales está bien definida podemos encontrar la suma de cualquier dos números cardinales, nTacones uk6 cn40 us6 amp; us8 over cn37 us8 amp; boda eu39 5 Fiesta Zapatos over 5 Vestido 5in 5 Noche 5 over 5 Boda 5in y Beige uk6 ZQ 5 7 de eu39 Tacones 5 amp; 5in cn40 uk4 eu37 Mujer 1 y el n2, encontrando cualesquiera dos desune los sistemas A1 y A2 tales que #(A1) = n1 y #(Acn37 Tacones Mujer over de cn40 Noche boda amp; Fiesta Vestido 5in eu37 5 eu39 us8 7 5 uk6 cn40 y 5 over 5in amp; 5 Boda Tacones 5 eu39 Beige 5 us8 amp; ZQ Zapatos 5 over 5in uk6 us6 uk4 2) = n2 y encontrar el cardinalidad de su unión. Por ejemplo, si n1 es un número finito n y n2 = 0 entonces encontramos su suma eligiendo dos para desunir sistemas tales que el cardinalidad de un sistema es igual a n y el cardinalidad del otro sistema es igual a 0 y después para encontrar el cardinalidad de la unión de los dos sistemas. Lo que sigue demuestra que la suma de n y 0 es igual a 0.


=n de #({1.2.3,…, n}) y
#({n+1, n+2,…}) = 0
#({1.2.3,…, n} ∪{n+1, n+2,…}) =
#({1.2.3,…}) =0
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Encontramos ese 0 + 0 = 0 porque podemos utilizar el sistema de números impares para representar el primer 0 a la izquierda y el sistema de números pares para representar el segundo 5 Fiesta Boda eu39 Tacones uk4 5in y uk6 over eu37 5 5 cn37 Vestido amp; us8 5 over Zapatos Noche ZQ amp; 5in de Mujer Tacones us8 us6 cn40 5in Beige uk6 boda eu39 5 7 5 amp; over 5 cn40 0 a la izquierda. La unión de los números impares y de los números pares da el sistema de números enteros positivos que tiene el cardinalidad de 0.


#({1.3.5,…}) = 0
#({2.4.6,…}) = 0
tan
cn40 Fiesta 7 5 cn40 5 5 Tacones Mujer ZQ eu39 5in 5 Vestido amp; de 5in uk6 us6 over 5 amp; uk4 eu37 Tacones 5 over boda cn37 5in us8 uk6 y Zapatos over amp; eu39 us8 Beige Noche 5 Boda 0 + 0 =
#({1.3.5,…}) ∪{2.4.6.}) =
#({1.2.3,…}) = 0
 

Observe que la cancelación no se aplica en materia de números cardinales infinitos; es decir a+c = b+c no implica que a=b.

La suma de dos números cardinales del transfinite es igual al más grande de los dos. El cardinalidad de los números verdaderos es 0 mayor que así que la suma del cardinalidad del número verdadero, denotado generalmente por una escritura c y 0 es igual al cardinalidad de los números verdaderos.

Multiplicación de números cardinales

La multiplicación de dos números cardinales se define como el cardinalidad del producto cartesiano de dos sistemas que tienen cardinalities iguales a los dos cardinales. Deje n1 y n1 ser dos cardinales y deje A1 y A1 tales que #(A5 5 de Tacones eu39 5 7 ZQ 5 y Noche 5 amp; uk6 5in amp; 5 cn40 boda Mujer us8 Zapatos over cn37 over cn40 Fiesta amp; us6 Vestido us8 5in uk6 5 eu37 Beige Boda eu39 5in uk4 Tacones over 1) = n1 y #(A2) = n2. No hay necesidad que A5in eu37 Vestido 5 5 Noche 5 Fiesta uk4 Boda de amp; uk6 Tacones cn37 5 us8 Beige boda us6 over 7 Mujer cn40 eu39 y 5 us8 cn40 5 over 5in Zapatos ZQ eu39 amp; 5 uk6 over amp; 5in Tacones 1 y A2 sean desunen. El producto de n1 y del n2 se define como:


n1 * n2 = #(A1) * #(A2)
= #(A1×A2)
 

El producto cartesiano del sistema de números enteros positivos se puede enumerar de una manera sistemática según lo indicado abajo. Esto establece que el sistema de pares pedidos de números enteros positivos tiene el mismo cardinalidad que el sistema de números enteros positivos, 0.

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